Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Chuyên đề Toán 9: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất, độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức là 1 dạng toán khó khăn thông thường gặp gỡ vô đề thi đua tuyển chọn sinh vô lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và reviews cho tới chúng ta học viên nằm trong quý thầy cô tìm hiểu thêm. Nội dung tư liệu sẽ hỗ trợ chúng ta học viên học tập chất lượng tốt môn Toán lớp 9 hiệu suất cao rộng lớn. Mời chúng ta tìm hiểu thêm.

A. Cách lần gtln, gtnn của biểu thức

Một số công thức bất đẳng thức thông thường dùng

1. Nếu a và b là nhị số nằm trong lốt thì $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$

Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b

2. Nếu a.b > 0 thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b

3. $\left| {a + b} \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a.b ≥ 0

4. $\left| {a - b} \right| \geqslant \left| a \right| - \left| b \right|$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a ≥ b ≥ 0 hoặc 0 ≥ b ≥ a

Bất đẳng thức Cauchy

Với a, b ≥ 0 thì $\frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab}$ hoặc $a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi a = b

Bất đẳng thức Cauchy suy rộng

$\begin{matrix} \dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} \geqslant \dfrac{2}{{a + b}},\left( {a,b > 0} \right) \hfill \\ {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \geqslant ab \hfill \\ {\left( {a + b} \right)^2} \geqslant 4ab \hfill \\ {a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \hfill \\ ab \leqslant {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

B. Bài tập dượt lần GTLN, GTNN của biểu thức

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2},\forall x \ne - 1$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2} \hfill \\ A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right)^2} \hfill \\ A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)^2} \hfill \\ A = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 2\mathop \geqslant \limits_{Cauchy} 2\sqrt {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}.\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + 2 = 2\sqrt 2 + 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi $2{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow x = \frac{{ - 2 \pm \sqrt[4]{8}}}{2}$

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức là $MinA = 2\sqrt 2 + 2$

Ví dụ 2: Cho số thức $m \geqslant 6$ . Tính độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $B = {m^2} + \frac{{18}}{m}$

Hướng dẫn giải

Ta biến hóa biểu thức như sau: $B = {m^2} + \frac{{18}}{m} = {m^2} + \frac{9}{m} + \frac{9}{m}$

Dễ thấy độ quý hiếm m càng tăng thì độ quý hiếm của B cũng tăng. Dự đoán độ quý hiếm nhỏ nhất lúc m = 6

Ta link câu hỏi nhằm lần điểm rơi như sau:

$m = 6 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{m^2}}}{a} = \dfrac{{36}}{a}} \\ {\dfrac{9}{m} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}} \end{array} \Rightarrow \frac{{36}}{a} = \dfrac{3}{2}} \right. \Rightarrow a = 24$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{matrix} B = {m^2} + \dfrac{{18}}{m} \hfill \\ \Rightarrow B = \dfrac{{{m^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{m} + \dfrac{9}{m} + \dfrac{{23{m^2}}}{{24}} \hfill \\ \Rightarrow B \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{m^2}}}{{24}}.\dfrac{9}{m}.\dfrac{9}{m}}} + \frac{{23{m^2}}}{{24}} \geqslant \dfrac{9}{2} + \dfrac{{23.36}}{{24}} = 39 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi $\frac{{{m^2}}}{{24}} = \frac{9}{m} \Rightarrow m = 6$

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của B là 39 Khi và chỉ Khi m = 6

Ví dụ 3: Cho nhị số thực dương a, b thỏa mãn nhu cầu $a + b \leqslant 1$ . Tìm GTNN của biểu thức $C = \frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}}$

Hướng dẫn giải

Do C là biểu thức đối xứng với a, b nên tao Dự kiến GTNN của C đạt bên trên a = b = 0,5

Ta link câu hỏi nhằm lần điểm rơi như sau:

$a = b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} = \dfrac{2}{3}} \\ {\dfrac{1}{{2mab}} = \dfrac{2}{m}} \end{array} \Rightarrow \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{m}} \right. \Rightarrow m = 3$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{matrix} C = \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow C = \dfrac{1}{{6ab}} + \dfrac{1}{{3ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \sqrt {\dfrac{1}{{6ab}}.\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}}} + \dfrac{1}{{3ab}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \dfrac{1}{{\dfrac{{1 + {a^2} + {b^2} + 6ab}}{2}}} + \dfrac{1}{{3ab}} = \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1 + 4ab}} + \dfrac{1}{{3ab}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1 + 4{{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow C \geqslant \dfrac{4}{{2{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1}} + \dfrac{4}{{3{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \geqslant \dfrac{4}{{2.1 + 1}} + \dfrac{4}{{3.1}} = \dfrac{8}{3} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xẩy ra Khi và chỉ Khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + {a^2} + {b^2} = 6ab} \\ {a = b} \\ {a + b = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của C là 8/3.

Ví dụ 4: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $D = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 5} + 2{y^2} - 8y + 2018$

A. 2018

B. $2018 + \sqrt 5$

Xem thêm: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 828 và giữa chúng có tất cả 15 số tự nhiên khác câu hỏi 2629107 - hoidap247.com

C. 2012

D. Một thành phẩm khác

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} D = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 5} + 2{y^2} - 8y + 2018 \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {x - nó + 1} \right)}^2} + 4} + 2{\left( {y - 2} \right)^2} + 2010 \geqslant 2012 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy MinD = 2012

Dấu đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - nó + 1 = 0} \\ {y - 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 2} \end{array}} \right.$

Ví dụ 5: Tính độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $B = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2}$ là:

Hướng dẫn giải

Điều khiếu nại xác định: $- 2 \leqslant x \leqslant 6$

$B = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2} \leqslant \sqrt {2\left( {6 - x + x + 2} \right)} = 4$

Vậy maxB = 4. Dấy đẳng thức xẩy ra Khi và chỉ Khi 6 – x = x + 2 => x = 2

$B = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2}$

Ta có:

$\begin{matrix} {B^2} = {\left( {\sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2} } \right)^2} \hfill \\ = 6 - x + 2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} + x + 2 \hfill \\ = 8 + 2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì $2\sqrt {\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} \geqslant 0 \Rightarrow {B^2} \geqslant 8$

=> $B \geqslant 2\sqrt 2$ Khi và chỉ Khi $\left( {6 - x} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 6} \\ {x = 2} \end{array}} \right.$

Ví dụ 6: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức: $A = \frac{{5\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Hướng dẫn giải

Vì $\sqrt x \geqslant 0;\forall x \geqslant 0 \Leftrightarrow A \geqslant 0$

Dấu vị xảy Khi khi và chỉ Khi x = 0

Vậy minA = 0 => x = 0

Chia cả tử và mấu số cho tới $\sqrt x$ tao được

$A = \frac{5}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$ . gí dụng bất đẳng thức cosi cho tới $\sqrt x ;\frac{1}{{\sqrt x }}$ tao được:

$\begin{matrix} \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \hfill \\ \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \geqslant 3 \hfill \\ \Rightarrow A = \dfrac{5}{{\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1}} \leqslant \dfrac{5}{3} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu vị xẩy ra Khi và chỉ Khi $\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 1$

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của A = 5/3 Khi và chỉ Khi x = 1

Cách khác: Thay vì thế lần max A tao đi kiếm $\min \frac{1}{A}$

Xét biểu thức $B = \frac{1}{A} = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{5\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{5\sqrt x }};\left( {x > 0} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho tới nhị số $\frac{{\sqrt x }}{5};\frac{1}{{5\sqrt x }}$ tao có:

$\frac{{\sqrt x }}{5} + \frac{1}{{5\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {\frac{{\sqrt x }}{5}.\frac{1}{{5\sqrt x }}} = \frac{2}{5}$

=> $B \geqslant \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

Dấu vị xẩy ra Khi và chỉ Khi $\frac{{\sqrt x }}{5} = \frac{1}{{5\sqrt x }}$ => x = 1

Vậy độ quý hiếm lớn số 1 của A = 5/3 Khi x = 1

C. Bài tập dượt tự động luyện lần độ quý hiếm nhỏ nhất, độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức

Bài tập dượt 1: Cho tía số thực dương a, b, c thỏa mãn nhu cầu $a + b + c \leqslant \frac{3}{2}$ . Tìm GTNN của biểu thức $F = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Bài tập dượt 2: Cho nhị số thực dương a, b. Tìm GTNN của biểu thức $D = \frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}$

Bài tập dượt 3: Cho nhị số thực dương a, b thỏa mãn nhu cầu $a + b \leqslant 1$ . Tìm GTNN của biểu thức $E = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + 4ab$

Một số đề thi đua test vô lớp 10 bên trên toàn quốc:

Đề thi đua test vô 10 môn Toán năm học tập 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Tiền Giang
Đề thi đua test vô 10 môn Toán năm học tập 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Trà Vinh
Đề thi đua test vô 10 môn Toán năm học tập 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Vĩnh Long
Đề thi đua test vô 10 môn Toán năm học tập 2021 - 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Ninh Thuận
Đề thi đua test vô 10 môn Toán năm học tập 2021 - 2022 ngôi trường thường xuyên Thái Bình

-----------------------------------------------------

Xem thêm: Bài 1 trang 65 sgk sách Địa 9, Hãy nêu những thế mạnh về tài nguyên thiên nhiên của Trung du và miền núi Bắc Bộ

Hy vọng tư liệu Tìm GTNN, GTLN của biểu thức Toán 9 sẽ hỗ trợ ích cho tới chúng ta học viên học tập bắt chắc chắn những cơ hội biến hóa biểu thức chứa chấp căn đôi khi học tập chất lượng tốt môn Toán lớp 9. Chúc chúng ta học tập chất lượng tốt, chào chúng ta tham lam khảo!

Ngoài đi ra chào quý thầy cô và học viên tìm hiểu thêm thêm thắt một vài nội dung:

Luyện tập dượt Toán 9
Giải bài bác tập dượt SGK Toán 9
Đề thi đua đằm thắm học tập kì môn Toán 9
Đề thi đua vô 10 môn Toán

Tham khảo thêm:

Cách lần độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp căn
Tìm độ quý hiếm x nhằm A nhận độ quý hiếm nguyên
Tìm m nhằm phương trình đem nhị nghiệm phân biệt thỏa mãn nhu cầu điều kiện
Tìm m nhằm phương trình đem nghiệm
Tìm m nhằm (d) hạn chế (P) bên trên nhị điểm phân biệt
Giải câu hỏi bằng phương pháp lập hệ phương trình dạng thực hiện công cộng thực hiện riêng
Tìm độ quý hiếm lớn số 1, nhỏ nhất của biểu thức
Cho tam giác ABC nội tiếp lối tròn trĩnh (C) và tia phân giác của góc A hạn chế lối tròn trĩnh bên trên M. Vẽ lối cao AH
Từ điểm M ở phía bên ngoài lối tròn trĩnh (O; R) vẽ nhị tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là những tiếp điểm) và cát tuyến MDE ko qua chuyện tâm O (D, E nằm trong (O), D nằm trong lòng M và E).
Một xe pháo máy lên đường kể từ A cho tới B với véc tơ vận tốc tức thời và thời hạn dự trù trước. Sau Khi lên đường được nửa quãng lối, xe pháo máy gia tăng 10km/h vậy nên xe pháo máy cho tới B sớm rộng lớn nửa tiếng đối với ý định. Tính véc tơ vận tốc tức thời ý định của xe pháo máy, biết quãng lối AB lâu năm 120km.
Tìm nhị số ngẫu nhiên hiểu được tổng của bọn chúng vị 1006 và nếu như lấy số rộng lớn phân chia cho tới số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Một ôtô lên đường kể từ A và ý định cho tới B khi 12 giờ trưa. Nếu xe đua với véc tơ vận tốc tức thời 35km/h thì sẽ tới B lờ lững 2 tiếng đối với quy ấn định. Nếu xe đua với véc tơ vận tốc tức thời 50km/h thì sẽ tới B sớm 1 giờ đối với ý định. Tính phỏng lâu năm quãng lối AB và thời gian xuất trừng trị của siêu xe bên trên A.